تحلیل مقادیر ویژه

بسم الله الرحمن الرحیم

مفهوم کلی مقادیر ویژه

یک ماتریس  Knxn را در نظر بگیرید. طبق رابطه ۱ از ضرب این ماتریس در هر بردار Un یک بردار U’n بدست می آید. ماتریس Knxn را میتوان یک «تبدیل خطی» دانست که هر بردار با بعد n را به بردار دیگری با همین بعد تصویر میکند. چنانچه در شکل ۱ نشان داده شده است، نتیجه اعمال تبدیل K روی دو بردار U و P با دو مختصات مختلف، کاملا متفاوت است. حال اگر بتوانیم بردار V را به نحوی بیابیم که تحت تبدیل K دچار تغییر زاویه و راستا نشود و یا به عبارتی تبدیل K روی آن به صورت یک تبدیل اسکالر عمل کند، آنگاه V را یک بردار ویژه از ماتریس تبدیل K می گویند. در چنین شرایطی، حاصل تبدیل V  توسط K بردار V’=λV یعنی بردار دیگری به موازات V و λ برابر آن خواهد بود. عدد اسکالر λ نیز در اینجا یک مقدار ویژه برای ماتریس K به شمار می آید.

رابطه ۱: Knxn Un = U’n

شکل ۱٫ الف) نتیجه اعمال تبدیل K روی بردارهای مختلف و بردارهای ویژه V1 و V2، ب) تصویر بردار دلخواه U بر روی دو بردار ویژه V1 و V2

چنانچه در رابطه ۲ آمده است، برای بدست آوردن مقدار ویژه λ با خصوصیات ذکر شده کافی است دترمینان ماتریس K-λI (ماتریس K بعد از کسر عدد ثابت λ از مقادیر واقع بر قطر اصلی آن) برابر صفر قرار داده شود و معادله حاصله بر حسب λ حل شود. تعداد جوابهای این معادله برابر با n (بعد ماتریس K) خواهد بود و به ازای هر که البته در حالت کلی ممکن است بعضی از جوابهای این معادله مضاعف، منفی و یا مختلط شوند.

رابطه ۲

KV = λV  →

(K-λI)V=0  →  |K-λI|=0

خواص کلی بردارها و مقادیر ویژه

اولین خاصیت بردارهای ویژه این است که این بردارها از یکدیگر مستقل خطی (linearly independent) اند یعنی هیچ ترکیب از خطی از بردارهای عضو این مجموعه برابر با بردار دیگری از آن نمی شود. در نتیجه می توان از آنها برای تجزیه بردارها استفاده کرد. اما ضمن استقلال خطی این بردارها، تجزیه بردارها به کمک بردارهای ویژه خاصیت مهم دیگری نیز دارد که به تاثیر ماتریس K بر بردارها بازمی گردد. در رابطه ۳ برای سهولت یک فضای ۲بعدی تصور شده است که در آن بردار دلخواه U به کمک بردارهای ویژه V1 و V2 از ماتریس K تجزیه شده است. اثر اعمال K بر روی این بردارها را می توان بدین صورت نوشت:

رابطه ۳

U = α۱ V1+ α۲ V

KU= α۱ K.V1+ α۲ K.V2

که در این رابطه α۱ و α۲ مولفه های بردار U به ترتیب در راستای V1 و V2 هستند. اما:

رابطه ۴ K.V1  = λ۱V1  , K.V2  = λ۲V2

در نتیجه:

رابطه ۵ U = α۱ V1+ α۲ V2 →KU= (α۱ λ۱)V1+ (α۲ λ۲)V2

رابطه اخیر به معنی این است که برای بدست آوردن تبدیل یافته بردار U توسط ماتریس K کافی است تا مؤلفه های تصویر این بردار در امتداد دو بردار ویژه V1 و V2  یعنی α۱ و α۲ را به ترتیب در مقادیر ویژه λ۱ و λ۱ ضرب نمود. این یعنی:

رابطه ۶

آخرین سطر از روابط بالا نشان میدهد، ماتریس قطری Λ که از قرار دادن مقادیر ویژه i ام در درایه i,i آن بدست آمده، هم ارز ماتریس تبدیل K عمل می کند و بدلیل قطری بودن خواص ویژه ای نسبت به آن دارد. این هم ارز بودن در حوزه های دیگری نیز صادق است من جمله می توان نوشت:

رابطه ۷

یعنی برای بدست آوردن دترمینان K کافی است مقادیر ویژه آن را در هم ضرب کنیم که این خود برابر دترمینان Λ است (دترمینان یک ماتریس قطری برابر حاصلضرب درایه های روی قطر اصلی آن است). یعنی دو ماتریس K و Λ از نقطه نظر دترمینان نیز با یکدیگر هم سنگ اند و برای بدست آوردن دترمینان K کافی است دترمینان Λ را بدست آوریم.

به طور کلی اگر ماتریس Q را از قرار دادن بردارهای ویژه ماتریس K در کنار یکدیگر بدست آوریم، میتوانیم بنویسیم:

رابطه ۸

عبارت آخر رابطه بالا نوعی تجزیه ماتریس K است که به تجزیه ویژه یا eigen decomposition مشهور است.

کاربرد مقادیر ویژه در تحلیل سازه ها

با توجه به ویژگی های بردارها و مقادیر ویژه، در حیطه تحلیل سازه ها از این مفهوم با اهداف مختلفی استفاده شده است که مهمترین آنها عبارتند از:

  • تحلیل پایداری سازه ها: یافتن حالات کمانش یک عضو یا سازه و نیروی متناظر با هر حالت
  • استفاده به عنوان شاخصی از سلامت سازه (در پایش سلامت یا health monitoring) و یا شاخصی از بهینگی رفتار سازه در مطالعات بهینه یابی
  • تحلیل نوسان سازه: تفکیک پاسخ دینامیکی سازه به پاسخ سازه های یک درجه آزادی مستقل

در بین کاربردهای اشاره شده، کاربرد آخر از دیگران مرسوم تر است و مفصلا در مراجع دینامیک سازه ها در خصوص آن صحبت شده است. در اینجا نیز قصد داریم اشاره کوتاهی به این کاربرد بیاندازیم تا درک ما از مفهوم تحلیل مقادیر ویژه در سازه ها افزایش یابد.

همانطور که قبلا گفته شد، دستگاه معادلات حاکم بر یک سیستم سازه ای را میتوان بصورت کلی زیر نوشت:

رابطه ۹

زمانی که میخواهیم ارتعاش یک سازه را تحت یک تحریک ورودی به کمک خواص مقادیر ویژه بررسی کنیم، در قدم اول ارتعاش آزاد (با بردار نیروهای خارجی صفر) و غیرمیرای سازه (با ماتریس سختی برابر با صفر) را که توسط معادله زیر بیان می شود تحلیل می کنیم:

رابطه ۱۰

جوابهای این معادله دیفرانسیل توابعی هارمونیک از جنس توابع مثلثاتی sin ωu و یا cos ωu هستند که ویژگی آنها به این صورت قابل بیان است:

رابطه ۱۱

با این جایگذاری، رابطه ۱۰ به شکل زیر تبدیل می شود:

رابطه ۱۲

عبارت آخر یک بیان جایگزین از مسئله مقادیر ویژه است که در آن علاوه بر ماتریس K ماتریس M نیز دخالت دارد و بردار ویژه این دستگاه برداری است که تبدیل یافته آن توسط دو ماتریس K و M را بتوان توسط اسکالر λ=ω۲ به یکدیگر تبدیل کرد. در حالت سیستم یک درجه آزادی، ماتریس های K و M تبدیل به اعداد حقیقی شده و با حل رابطه ۱۲می توان بسامد زاویه ای نوسان مورد نظر را بدست آورد:

رابطه ۱۳

در حالت ماتریسی، بدست آوردن مقادیر λ مستلزم حل رابطه ۱۴ است:

رابطه ۱۴

عبارت آخر این رابطه شبیه به فرم کلی مسأله مقادیر ویژه در رابطه ۲ است که در آن ماتریس همانی I با ماتریس M جایگزین شده است. با حل این معادله ωi ها و بردارهای ویژه متناظر با هر یک بدست می آید که به این بردارها بردارهای شکل مودی (modal shape vectors) گفته می شود. حال می توان هر یک از ωi ها را فرکانس زاویه ای نوسان یک سیستم یک درجه آزادی متناظر با آن مود درنظر گرفت. چنانچه قبلا گفته شد، بردارهای ویژه بردارهایی متعامد (مستقل خطی) هستند که به کمک آنها می توان به کمک عبارت بیان شده در سطر اول از رابطه ۶ بردار تغییرمکان سازه در هر لحظه از زمان را تجزیه کرد. در این عملیات تجزیه، ضریب ضرب شده در هر یک از بردارهای شکل همان جابجایی مودی مود مربوطه است. پس در در هر لحظه از زمان، از ضرب جابجایی مود i ام سازه در بردار شکل آن مود تغییرمکان تمام گره های سازه در آن مود و آن لحظه بدست می آید. تغییرمکان کلی هر گره سازه، در نهایت از جمع بستن تغییرمکان های آن گره در مودهای مختلف بدست خواهد آمد.

در صورت ثابت ماندن ماتریس سختی و جرم سازه، پس از بدست آوردن بردارها و مقادیر ویژه ما عملا پاسخ نوسان آزاد سازه را در هر لحظه از زمان بدست آورده ایم. حال برای اینکه این پاسخ را به پاسخ سازه با میرایی تبدیل کنیم، میرایی را وارد نوسان مودهای مختلف سازه می کنیم تا نوسان هارمونیک فرض شده در ابتدای مسیر به یک نوسان میرا تبدیل شود. در ضمن برای دیدن اثر نیروی خارجی  در پاسخ هر یک از مودها از تبدیلهای ارائه شده در ریاضیات مهندسی (از قبیل انتگرال دوهامل Duhamel integration) استفاده می کنیم. به این روش یافتن پاسخ ارتعاشی سازه تحلیل دینامیکی مودال گفته می شود.

چنانچه ماتریس سختی و یا جرم سازه در طول زمان دچار تغییر شوند (این اتفاق در رفتار غیرخطی سازه برای ماتریس سختی می افتد ولی ماتریس جرم معمولا ثابت است)، مقادیر و بردارهای ویژه در هر لحظه تغییر خواهند کرد و باید مجددا تعیین شوند. به این ترتیب کل فرایند ذکر شده تنها قادر است پاسخ سازه را برای گام زمانی dt بدست آورد و نه برای کل زمان تحلیل. در عمل، تحلیل دینامیکی مودال بیشتر برای مدلهای الاستیک مورد استفاده قرار می گیرد و در مدلهای غیرخطی روشهای تحلیلی که از آنها به انتگرال گیری مستقیم (direct integration) یاد می شود رایج تراند.

در OpenSees الگوریتم های به کار رفته برای تحلیل دینامیکی همه از نوع انتگرال گیری مستقیم اند که در قسمت بعدی توضیح مختصری در مورد آنها خواهیم داد.

 

مطلب بعدی: تحلیل دینامیکی

0 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

Want to join the discussion?
Feel free to contribute!

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

دو × چهار =